Gradiente, Divergencia y Rotacional
El Rotacional
El rotacional de una función vectorial es el producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:
Rotacional, Cilíndrico
El rotacional en un sistema de coordenadas polar cilíndrica, expresado en la forma de un determinante es:
Rotacional, Esférico
El rotacional en un sistema de coordenadas polar esférica, expresado en la forma de un determinante es:
La Divergencia
La divergencia de un campo vectorial
en coordenadas rectangulares se define como el producto escalar del operador nabla por la función
La divergencia es una función escalar del campo vectorial. El teorema de la divergencia es una herramienta matemática importante en la Electricidad y el Magnetismo.
Aplicaciones de Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es proporcional a la densidad de las fuentes puntuales del campo. En la ley de Gauss para el campo eléctrico
la divergencia da la densidad de cargas puntuales. En ley de Gauss para el campo magnético
el valor cero de la divergencia implica que no hay fuentes puntuales de campo magnético.
Divergencia. Varias Coordendas
Comparada con la divergencia en coordenadas rectangulares:
En coordenadas polar cilíndrica:
y en coordenadas polar esférica:
El Gradiente
El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo. En coordenadas rectangulares el gradiente de la función f(x,y,z) es:
La divergencia del gradiente se llama el Laplaciano. Se usa ampliamente en física.
Gradiente. Varias Coordenadas
Comparado al gradiente en coordenadas rectangulares:
En coordenadas polar cilíndrica :
y en coordenadas polar esférica :
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